Sessió intensiva · TODOPAU CCSS
⚖️

Inequacions visuals i sistemes

Resolem inequacions sempre igualant a 0 i comprovant intervals, amb rectes reals i esquemes clars a cada pas.

📚 Matemàtiques CCSS · 2n Batxillerat ⏱️ 2 hores de pràctica guiada 🎯 Mètode d’intervals + sistemes
Programa

Què veurem, de forma molt visual

1. Llenguatges

  • Recta real vs interval.
  • Parèntesi / claudàtor.
  • Bola buida / plena.

2. Mètode d’intervals

  • Igualar a 0.
  • Punts clau i intervals.
  • Lineals, quadràtiques i fraccions.

3. Sistemes

  • Cada inequació per separat.
  • Superposar rectes.
  • Intersecció d’intervals.

Objectiu: que l’alumne vegi més dibuix que text i tingui una recepta visual per a qualsevol inequació de PAU.

Bloc 1 · Llenguatges

Interval i recta real expliquen el mateix

Exemple: x > 2

Solució analítica: (2, +∞)
  • Parèntesi: el 2 no forma part de la solució.
  • +∞: no es posa claudàtor perquè mai s’arriba a l’infinit.

Recta real corresponent

2

Bola buida a 2, ressalt cap a la dreta. Aquesta imatge és el mateix que l’interval (2, +∞).

Bloc 1 · Recordatori visual

Parèntesis, claudàtors, boles

Signe < o >

  • El punt no s’inclou.
  • Interval amb parèntesi.
  • Recta: bola buida.

Signe ≤ o ≥

  • El punt s’inclou.
  • Interval amb claudàtor.
  • Recta: bola plena.

Denominador = 0

  • Punt on l’expressió no existeix.
  • Mai claudàtor, mai bola plena.
  • Sempre bola buida, exclòs.
Bloc 2 · Recepta única

El mètode que farem sempre

1. Igualar a 0

Portem tot a un costat i deixem “expressió relació 0”.

exemple: 3x − 5 > 4 ⇒ 3x − 9 > 0

2. Punts clau

Resolem l’equació associada (igualat a 0):

3x − 9 = 0 ⇒ x = 3

3. Intervals

Dividim la recta real amb aquests punts i provem un valor en cada interval.

Intervals: (−∞, 3) i (3, +∞)

Aquest esquema és el mateix per a lineals, quadràtiques, fraccionàries i sistemes (un cop resoltes per separat).

Exemple 1 · Lineal

3x − 5 > 4 (pas algebraic)

1. Igualem a 0 i trobem el punt clau

3x − 5 > 4
3x − 5 − 4 > 0
3x − 9 > 0
Equació associada: 3x − 9 = 0 ⇒ x = 3

La recta real queda partida en dos intervals: (−∞, 3) i (3, +∞).

Encara no decidim quin interval és solució; ho farem amb la recta a la següent diapositiva.

Exemple 1 · Lineal

3x − 5 > 4 (recta real i interval)

2. Provar intervals

  • Interval (−∞, 3): prova x = 0 ⇒ 3·0 − 9 = −9 (no és > 0).
  • Interval (3, +∞): prova x = 4 ⇒ 3·4 − 9 = 3 (> 0, compleix).
Solució: x > 3 ⇔ (3, +∞).

Recta real

3

Bola buida a 3 (signe >), ressalt cap a la dreta. Això “es tradueix” directament a (3, +∞).

✏️ PAU · Lineal

2x + 1 ≤ 5 (amb recta real)

Passos clau

2x + 1 ≤ 5
2x − 4 ≤ 0
Equació associada: 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2
  • Intervals: (−∞, 2) i (2, +∞).
  • Prova x = 0 ⇒ 2·0 − 4 = −4 (≤ 0, compleix).
  • Prova x = 3 ⇒ 2·3 − 4 = 2 (no compleix).
Solució: x ≤ 2 ⇔ (−∞, 2].

Recta real

2

Bola plena (≤) i ressalt cap a l’esquerra. És exactament (−∞, 2].

Bloc 2 · Quadràtiques

Quadràtiques: tres intervals a la recta

Paràbola i punts on talla l’eix

Resolem ax² + bx + c = 0 per trobar on la paràbola talla l’eix X.

Aquests punts són on l’expressió pot canviar de signe.

Exemple: (x − 1)(x − 4) ≥ 0 ⇒ arrels x = 1 i x = 4.

Recta real associada

1
4

La recta queda dividida en 3 intervals: (−∞, 1), (1, 4), (4, +∞).

Exemple 2 · Quadràtica

(x − 1)(x − 4) ≥ 0

1. Punts clau i proves

  • Equació: (x − 1)(x − 4) = 0 ⇒ x = 1, x = 4.
  • Interval (−∞, 1): x = 0 ⇒ (−1)(−4) = 4 ≥ 0 ✔️
  • Interval (1, 4): x = 2 ⇒ (1)(−2) = −2 ✖️
  • Interval (4, +∞): x = 5 ⇒ (4)(1) = 4 ≥ 0 ✔️
Solució: (−∞, 1] ∪ [4, +∞).

Recta real

1
4

Boles plenes (≥) i ressalt als extrems: es veu clarament la unió de dos intervals.

✏️ PAU · Quadràtica

x² − 5x + 4 < 0

Passos visibles

x² − 5x + 4 < 0
(x − 1)(x − 4) < 0
Equació: (x − 1)(x − 4) = 0 ⇒ x = 1, x = 4
  • Intervals: (−∞, 1), (1, 4), (4, +∞).
  • A l’exemple anterior ja hem vist que el signe és negatiu entre 1 i 4.
Solució: (1, 4).

Recta real (només l’interval bo)

1
4

Com que és “< 0”, les boles són buides. Això reforça visualment l’interval (1, 4).

Bloc 2 · Fraccionàries

Numerador = 0 vs denominador = 0

On el numerador és 0

On la fracció val 0 (si el denominador no és 0).

x − 1 = 0 ⇒ x = 1

Si el signe és ≤ o ≥, aquest punt es pot incloure (bola plena).

On el denominador és 0

Punt on l’expressió no existeix.

x + 2 = 0 ⇒ x = −2

Mai forma part de la solució: sempre bola buida, sense claudàtor.

Exemple 3 · Fraccionària

(x − 1)/(x + 2) ≤ 0

1. Punts clau i intervals

Numerador: x − 1 = 0 ⇒ x = 1
Denominador: x + 2 = 0 ⇒ x = −2

Intervals: (−∞, −2), (−2, 1), (1, +∞).

  • x = −3 ⇒ (−4)/(−1) = 4 (> 0) ✖️
  • x = 0 ⇒ (−1)/2 (< 0) ✔️
  • x = 2 ⇒ 1/4 (> 0) ✖️
Solució: (−2, 1].

Recta real

−2
1

−2 és denominador = 0 → bola buida. 1 ve del numerador i amb ≤ → bola plena.

Bloc 3 · Sistemes

Sistemes = superposar intervalets

Pas 1 i 2

  • Resoldre cada inequació amb el mètode d’intervals.
  • Escriure la solució de cadascuna en forma d’interval.
Exemple sistema:
1) x − 1 ≥ 0
2) 2x + 3 < 7

Pas 3 i 4

  • Dibuixar cada solució en la seva recta.
  • Marcar l’interval on coincideixen.

El resultat final és la intersecció (la part on hi ha “doble color”).

Exemple 4 · Sistema lineal

Sistema: x − 1 ≥ 0, 2x + 3 < 7

Solució de cada inequació

1) x − 1 ≥ 0
x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
Solució: [1, +∞)
2) 2x + 3 < 7
2x + 3 − 7 < 0
2x − 4 < 0 ⇒ x < 2
Solució: (−∞, 2)
Intersecció
Ens quedem amb els x que estan
alhora a [1, +∞) i (−∞, 2)
⇒ [1, 2)
Exemple 4 · Sistema lineal

Rectes reals superposades

Visualitzem les dues inequacions

Línia 1: solució de x − 1 ≥ 0 → [1, +∞)

1

Línia 2: solució de 2x + 3 < 7 → (−∞, 2)

2

La zona on es trepitgen les dues línies és [1, 2). Aquesta és la solució del sistema.

✏️ PAU · Sistema

x + 2 > 0, 3x − 1 ≤ 5

Solució de cada inequació

1) x + 2 > 0 ⇒ x > −2 ⇒ (−2, +∞)

2) 3x − 1 ≤ 5
3x − 6 ≤ 0 ⇒ x ≤ 2 ⇒ (−∞, 2]

Intersecció: x és més gran que −2 i com a màxim 2.

Solució del sistema: (−2, 2].

Recta real superposada

−2
2

Bola buida a −2 (signe >), plena a 2 (signe ≤). Visualment és molt fàcil llegir (−2, 2].

Formulari visual

Recepta ràpida per imprimir

  • 1. Igualar a 0: porta-ho tot a un costat: “expressió relació 0”.
  • 2. Punts clau: resol expressió = 0. Si hi ha fracció, també denominador = 0 (punt exclòs).
  • 3. Intervals: col·loca els punts a la recta i crea intervals entre ells.
  • 4. Provar valors: tria un número de cada interval i mira si compleix la inequació.
  • 5. Construir solució: marca a la recta només els intervals que funcionen.
  • 6. Parèntesi / claudàtor: “< o >” ⇒ parèntesi / bola buida; “≤ o ≥” ⇒ claudàtor / bola plena.
  • 7. Denominador = 0: sempre bola buida, mai a la solució, encara que tinguis “≤ o ≥”.
  • 8. Sistemes: resol cada inequació per separat i superposa les seves rectes; queda’t amb la part comuna.
  • 9. Visualització: comprova que el dibuix de la recta coincideix amb l’interval escrit.
  • 10. PAU: si tens dubtes, fes un últim test amb un valor de prova dins i fora de l’interval final.
Fi de la sessió
✅

Molt bé! Ara les inequacions “es veuen”

Has treballat inequacions i sistemes sempre amb el mateix mètode d’intervals, però sobretot amb la recta real al centre de tot.

1 / 1