📈
Sessió intensiva TODOPAU

Continuïtat de funcions

Matemàtiques CCSS · 2n Batxillerat

Apunts per a la Selectivitat amb límits laterals, condicions de continuïtat i classificació detallada de totes les discontinuïtats més habituals.

Durada · 2 hores Nivell PAU Amb exemples resolts
Programa

Què treballarem

L’objectiu és dominar quan una funció és contínua, quins límits has de calcular i com identificar ràpidament el tipus de discontinuïtat en exercicis de Selectivitat.

0:00–0:25

Idea clau

Definició de continuïtat, domini i relació amb el valor de la funció.

0:25–0:50

Límits

Límit lateral esquerre, dret, límit finit i límits infinits.

0:50–1:25

Discontinuïtats

Evitable, de salt, infinita i essencial amb interpretació gràfica.

1:25–2:00

Aplicació PAU

Exemples resolts, exercici tipus examen i formulari final resum.

Bloc 1 · Definició

Quan una funció és contínua

Una funció és contínua en x = a si el seu comportament en acostar-nos al punt coincideix amb el valor que pren exactament en aquell punt.

f és contínua en x = a si:
1) f(a) existeix
2) existeix lim x→a f(x)
3) lim x→a f(x) = f(a)

Si falla qualsevol d’aquestes tres condicions, en x = a hi ha una discontinuïtat.

Condició d’aplicació: abans de parlar de continuïtat, comprova sempre el domini de la funció.

Bloc 1 · Casos

Tres idees que no pots confondre

🎯

Valor de la funció

És f(a). Només mira què passa exactament al punt, no als voltants.

Clau: pot existir i igualment no haver-hi continuïtat.

↔️

Límit

Estudia a què s’acosta f(x) quan x s’apropa a a per esquerra i per dreta.

Clau: el límit parla de proximitat, no del punt.

🧩

Continuïtat

Necessita encaixar el valor i el límit: lim x→a f(x) = f(a).

Clau: és la unió perfecta entre dibuix i definició.

Bloc 2 · Límits

Tipus de límits necessaris

Per estudiar la continuïtat en un punt a, els tres protagonistes són els dos límits laterals i el límit total.

Límit esquerre: lim x→a⁻ f(x)
Límit dret: lim x→a⁺ f(x)
Límit en a: lim x→a f(x)

El límit total existeix només si els dos laterals existeixen i són iguals.

Si un lateral dona un valor diferent o se’n va a infinit, la funció no és contínua en aquell punt.

a x → a⁻ x → a⁺ mateix valor
Bloc 2 · Tipologia

Quins límits et poden aparèixer

🔢

Límit finit

La funció s’acosta a un nombre real concret. És el cas ideal per comprovar continuïtat.

Exemple: lim x→2 (x+1) = 3

⬆️

Límit infinit

La funció creix o decreix sense límit quan x s’apropa a a.

Exemple: lim x→0⁺ 1/x = +∞

🚫

Límit inexistent

Els laterals no coincideixen o algun d’ells no té comportament definit.

Exemple: límits laterals diferents en una funció a trossos.

Bloc 2 · Explicació visual

Com decidir si el límit existeix

Punt x = a lim x→a⁻ f(x) lim x→a⁺ f(x) Si són iguals el límit existeix Si són diferents el límit no existeix
Pas 1. Mira què fa la funció quan t’acostes a a per l’esquerra.
Pas 2. Repeteix el procés per la dreta.
Pas 3. Si els dos resultats coincideixen, ja tens el límit total.
Pas 4. Després compara aquest valor amb f(a) per decidir si hi ha continuïtat.
Truc PAU. En funcions a trossos, el punt de canvi és sempre el primer lloc on has de mirar.
Bloc 3 · Discontinuïtats

Discontinuïtat evitable

Hi ha discontinuïtat evitable quan el límit existeix i és finit, però el valor de la funció al punt no està definit o no coincideix amb aquest límit.

Si lim x→a f(x) = L, però f(a) no existeix o f(a) ≠ L,
aleshores hi ha discontinuïtat evitable.

A nivell gràfic és un forat: el dibuix arribaria bé al punt, però el punt central falta o està mal col·locat.

És “evitable” perquè redefinint el valor correcte en x = a es podria fer contínua.

✏️ Exercici PAU

Exemple resolt d’evitable

Estudia la continuïtat de f(x) = (x² − 1)/(x − 1) en x = 1.
1
Factoritzem: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Per tant, per a x ≠ 1, f(x) = x + 1.
2
Calculem el límit: lim x→1 f(x) = lim x→1 (x + 1) = 2.
3
En x = 1 la funció original no està definida, perquè el denominador val 0.
4
El límit existeix però f(1) no existeix. Això és una discontinuïtat evitable.
Resultat final: hi ha un forat en x = 1 i es faria contínua definint f(1) = 2.
Bloc 3 · Discontinuïtats

Discontinuïtat de salt

Apareix quan els dos límits laterals existeixen i són finits, però donen valors diferents.

Si lim x→a⁻ f(x) = L₁ i lim x→a⁺ f(x) = L₂, amb L₁ ≠ L₂,
la funció té discontinuïtat de salt.

El límit total no existeix, perquè no hi ha un únic valor al qual s’acosti la funció.

Encara que f(a) estigui definida, el problema continua: el “salt” entre esquerra i dreta no es pot arreglar canviant només un punt.

A Selectivitat surt molt en funcions definides a trossos.

✏️ Exercici PAU

Exemple resolt de salt

Siguin f(x)=1 si x<0 i f(x)=3 si x≥0. Classifica la discontinuïtat en x = 0.
1
Límit per l’esquerra: com si x < 0, la funció val sempre 1. Així, lim x→0⁻ f(x) = 1.
2
Límit per la dreta: com si x ≥ 0, la funció val sempre 3. Així, lim x→0⁺ f(x) = 3.
3
Com que 1 ≠ 3, el límit total en 0 no existeix.
4
No importa quin sigui f(0): la funció presenta un salt entre els dos costats.
Resultat final: discontinuïtat de salt en x = 0.
Bloc 3 · Discontinuïtats

Discontinuïtat infinita

Hi ha discontinuïtat infinita quan, en acostar-nos al punt, la funció creix o decreix sense límit.

Si lim x→a⁻ f(x) = ±∞ o lim x→a⁺ f(x) = ±∞,
parlem de discontinuïtat infinita.

Això sol indicar una asímptota vertical en x = a.

És típica en fraccions quan el denominador es fa 0 i no es pot simplificar el factor problemàtic.

x = a +∞ / −∞ ±∞
✏️ Exercici PAU

Exemple resolt d’infinita

Estudia què passa amb f(x)=1/(x−2) en x = 2.
1
Quan x s’acosta a 2 per l’esquerra, x−2 és un nombre molt petit negatiu. Per això 1/(x−2) tendeix a −∞.
2
Quan x s’acosta a 2 per la dreta, x−2 és un nombre molt petit positiu. Per això 1/(x−2) tendeix a +∞.
3
No existeix un límit finit i la funció es dispara verticalment als dos costats de x = 2.
4
Conclusió: hi ha discontinuïtat infinita i asímptota vertical x = 2.
Resultat final: discontinuïtat infinita en x = 2.
Bloc 3 · Discontinuïtats

Discontinuïtat essencial

És el cas més irregular. Apareix quan almenys un dels límits laterals no existeix i tampoc tendeix a infinit de manera clara.

No hi ha límit lateral ben definit, ni finit ni infinit.
La funció oscil·la o té un comportament no estabilitzat.

En Batxillerat CCSS no és el cas més freqüent als exàmens, però és important saber-lo distingir dels altres.

La idea clau és que no hi ha manera d’assignar un únic comportament a la funció quan ens acostem al punt.

En PAU, normalment et trobaràs sobretot les evitables, de salt i infinites.

Bloc 4 · Taula resum

Com reconèixer cada discontinuïtat

Tipus Què passa amb els límits Valor f(a) Imatge mental
Evitable Existeixen i coincideixen Falta o no coincideix Forat puntual
De salt Existeixen però són diferents Irrellevant Salt entre dos nivells
Infinita Algun lateral dona ±∞ No arregla res Asímptota vertical
Essencial No hi ha comportament definit Irrellevant Oscil·lació / caos
Bloc 4 · Estratègia

Mètode ràpid per a Selectivitat

1
Troba els punts conflictius: zeros del denominador, canvis de tram, arrels de logaritmes o dominis restringits.
2
Calcula els límits laterals: primer esquerra i dreta; després decideix si hi ha límit total.
3
Mira el valor del punt: comprova si f(a) existeix i si coincideix amb el límit.
4
Classifica: forat, salt, asímptota o comportament essencial.
5
Escriu bé la conclusió: “La funció és contínua en...” o “Presenta discontinuïtat ... en x = ...”.
✏️ Exercici PAU

Exercici tipus examen amb solució

Estudia la continuïtat en x = 1 de la funció: f(x) = (x²−1)/(x−1) si x<1, f(1)=3, i f(x)=2x−1 si x>1.
1
Per l’esquerra, (x²−1)/(x−1)=x+1 per a x≠1, així que lim x→1⁻ f(x)=2.
2
Per la dreta, f(x)=2x−1, per tant lim x→1⁺ f(x)=1.
3
Com que els laterals són diferents, el límit total en x=1 no existeix.
4
El fet que f(1)=3 no soluciona res, perquè el problema està entre els dos costats del punt.
Resultat final: discontinuïtat de salt en x = 1.
Bloc 5 · Formulari

Formulari complet de la sessió

Condicions de continuïtat

1) f(a) existeix
2) existeix lim x→a f(x)
3) lim x→a f(x) = f(a)

Límits

lim x→a f(x) existeix ⇔ lim x→a⁻ f(x) = lim x→a⁺ f(x)
Si lim x→a⁻ f(x) ≠ lim x→a⁺ f(x), el límit no existeix.

Tipus de discontinuïtat

Evitable: el límit existeix però f(a) falla o no coincideix.
De salt: els dos laterals són finits però diferents.
Infinita: algun lateral tendeix a +∞ o −∞.
Essencial: no hi ha límit lateral definit, ni finit ni infinit.

Recordatori: en racionals, si el denominador es fa 0, revisa si pots simplificar. Això t’ajuda a distingir entre evitable i infinita.

✅
Tancament

Molt bé! Ja domines la continuïtat

Ara ja saps relacionar domini, límits laterals i valor de la funció per decidir si una funció és contínua i per classificar correctament qualsevol discontinuïtat típica de la PAU.

A TODOPAU, l’objectiu no és memoritzar sense sentit: és entendre el mecanisme i aplicar-lo amb seguretat a l’examen.

1 / 19